Svincolo complicato (GaS)

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Questo argomento contiene 2 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 1 mese, 3 settimane fa.

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  • #19745
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    La casa di Arthur Dehn sta per essere distrutta per fare posto ad uno svincolo. Esso ha la forma di un quadrato $ABCD$ di lato $1500$ in cui è inscritta una circonferenza $\Gamma$. Dal punto $E$ del lato $AB$ tale che $AE=750\sqrt{2}$ parte una strada rettilinea (non sovrapposta ad $AB$) tangente a $\Gamma$, che interseca in $X$ la retta $CD$. Quanto misura $EX$?

    #19747

    Jacoπo
    Partecipante
    Spoiler

    Siano: $M$ e $N$ i punti medi rispettivamente di $AB$ e $BC$, $T$ il punto di tangenza di $EX$ con $\Gamma$ , $S$ il punto di intersezione di $EX$ e $BC$.
    Per il teorema delle tangenti da un punto: $ME\cong ET$ e $TS\cong SN$ . [1]
    Ponendo $ET=x$ e $TS=y$ , per [1] e per il teorema di Pitagora deve valere
    $(x+y)^2=(750-x)^2+(750-y)^2$
    che risolta, notando che $x=750(\sqrt{2}-1)$ , dà $y=750(\sqrt{2}-1)$, quindi $x=y$. [2]
    Inoltre $\angle BES \cong \angle SXC$ perchè alterni interni , $\angle BSE \cong \angle CSX$ perchè opposti al vertice. Quindi $\bigtriangleup EBS \sim \bigtriangleup SXC$.
    $\Rightarrow \frac{XS}{SE}=\frac{CS}{SB}$
    $\frac{XS+SE}{SE}=\frac{CS+SB}{SB}$ per la proprietà del comporre
    $\frac{XE}{SE}=\frac{AB}{SB}$
    $\frac{XS}{SE}=\frac{AB}{\sqrt{SE^2-EB^2}}$ per il teorema di Pitagora
    $\frac{XE}{2TE}=\frac{AB}{\sqrt{(2TE)^2-(AB-AE)^2}}$ per [2]
    $XE=\frac{AB\cdot 2TE}{\sqrt{(2TE)^2-(AB-AE)^2}}=\frac{1500\cdot 2\cdot 750\cdot (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{(2\cdot 750\cdot (\sqrt{2}-1))^2-(1500-750\sqrt2)^2}}\approx 2121$

    [collapse]
    #19750
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Giusta! Metto in spoiler un’idea alternativa:

    Spoiler

    Arrivato a $x=y$, hai anche che $BE\cong BS$, dunque per Talete $AC\parallel ES\iff AC\parallel EX$. Inoltre per costruzione vale anche $AE\parallel CX$, quindi $AECX$ è un parallelogramma. Allora $EX=AC=1500\sqrt{2}\approx 2121$.

    [collapse]
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