Problema inventato

Home Forum Matematica Geometria Problema inventato

Questo argomento contiene 3 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da Meceulero Meceulero 1 settimana, 6 giorni fa.

Stai vedendo 4 articoli - dal 1 a 4 (di 4 totali)
  • Autore
    Articoli
  • #19897
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante

    Sia $ABC$ un triangolo. Sia $A’$ il punto medio del lato $BC$ e sia $A”$ il punto sul perimetro di $ABC$ tale che le due parti in cui $A’$ e $A”$ dividono il perimetro abbiano la stessa lunghezza. Si definiscano in modo analogo $B’$, $B”$, $C’$,$C”$. Parte a): dimostrare che i segmenti $A’A”$, $B’B”$ e $C’C”$ concorrono in un punto $S$. Parte b): dimostrare che $HI\parallel SO$ Possibile hint per parte a):

    Spoiler

    Yoda sostiene che $S$ abbia la stessa potenza rispetto alle tre circonferenze ex-inscritte ad $ABC$

    [collapse]
    #19899

    Boscarden
    Partecipante

    Soluzione per il punto a:

    Spoiler

    Senza perdita di generalità $C”$ appartiene $BC$
    Siano $D$, $E$, $F$, i punti di tangenza della circonferenza exinscritta opposta a $B$, e $J$, $K$, $G$ quelli della circonferenza exinscritta opposta a $A$ appartenenti rispettivamente a $BC$, $CA$, $AB$.
    $FB=BD$, $FA=AE$ e $DC=CE$ allora $EA+AB=BC+CE=p$ ($p$ è il semiperimetro). Analogamente, $AB+BJ=p$ allora $EA+AB=AB+BJ$, $EA=BJ$ ossia $FA=GB$ allora $C’$ è anche il punto medio di $FG$, dunque $C’$ ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze exinscritte.
    Poiché $C’$ è il punto medio di $AB$, $AC+CC”=BC”:=k$
    Allora $C”D=C”C+CD=C”C+CE=k-EA$ e $C”J=C”B-BJ=k-BJ$ ma essendo $EA=BJ$ si ha $C”D=C”J$, dunque $C”$ ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze exinscritte.
    Pertanto $C’C”$ è l’asse radicale delle due circonferenze, allo stesso modo $A’A”$ e $B’B”$ sono assi radicali di altre due coppie di circonferenze exinscritte, allora tali rette concorrono poiché gli assi radicali di tre circonferenze concorrono.

    [collapse]
    #19900
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante

    Molto bene! Volendo, invito a riflettere sul seguente fatto (e a dimostrarlo) :

    Spoiler

    detti $E$ e $L$ i punti di tangenza con il lato $AC$ rispettivamente della circonferenza ex-inscritta opposta a $B$ e della circonferenza inscritta, si ha che $AE=CL$. Ricordando questo fatto, la dimostrazione di $AE=BJ$ nella dimostrazione di @boscarden risulta immediata.

    [collapse]

    Inoltre ricordo la parte b)😉

    #19904
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante

    Serve un hint?

Stai vedendo 4 articoli - dal 1 a 4 (di 4 totali)

Devi essere loggato per rispondere a questa discussione.