La specie più intelligente

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Questo argomento contiene 2 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da  Jacoπo 1 mese, 3 settimane fa.

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  • #19746
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Gli umani sono la specie più intelligente del pianeta Terra, dopo i delfini e i topi. Difatti, data una successione tale che $a_0=1$, $a_1=2$ e $a_n=a_{n-1}+12a_{n-2}$ per ogni $n\ge 2$, i topi sanno calcolare immediatamente quanto vale $a_{2016}+3a_{2015}. Gli umani invece possono al massimo determinare le ultime tre cifre di questo numero. Quali sono queste ultime tre cifre?

    #19754

    Jacoπo
    Partecipante
    Spoiler

    Si può esprimere il termine generale $x_n$ come segue:
    $x_n=\frac{2}{7}\cdot (-3)^n+\frac{5}{7}\cdot 4^n$
    dove $-3$ e $4$ sono le soluzioni di $x^2-x-12=0$ e $(\frac{2}{7},\frac{5}{7})$ è soluzione del sistema
    $\left{\begin{matrix}
    1=a+b & \
    2=-3a+4b &
    \end{matrix}\right.$
    Quindi $a_{2016}+3a_{2015}=\frac{2}{7}\cdot(-3)^{2016}+\frac{5}{7}\cdot 4^{2016}+3(\frac{2}{7}\cdot (-3)^{2015}+\frac{5}{7}\cdot 4^{2015})=(-3)^{2015}\cdot (\frac{2}{7}\cdot (-3+3))+4^{2015}\cdot (\frac{5}{7}\cdot (4+3))=5\cdot 4^{2015}$
    E per le ultime tre cifre: $4^{2015}\cdot 5\equiv 4^{15}\cdot 5\equiv 824\cdot 5\equiv 120\; mod 1000$

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    #19755

    Jacoπo
    Partecipante
    Spoiler

    Si può esprimere il termine generale $x_n$ come segue:
    $x_n=\frac{2}{7}\cdot (-3)^n+\frac{5}{7}\cdot 4^n$
    dove $-3$ e $4$ sono le soluzioni di $x^2-x-12=0$ e $(\frac{2}{7},\frac{5}{7})$ è soluzione del sistema
    $\left{\begin{matrix} 1=a+b & \ 2=-3a+4b & \end{matrix}\right.$
    Quindi $a_{2016}+3a_{2015}=\frac{2}{7}\cdot(-3)^{2016}+\frac{5}{7}\cdot 4^{2016}+3(\frac{2}{7}\cdot (-3)^{2015}+\frac{5}{7}\cdot 4^{2015})=(-3)^{2015}\cdot (\frac{2}{7}\cdot (-3+3))+4^{2015}\cdot (\frac{5}{7}\cdot (4+3))=5\cdot 4^{2015}$
    E per le ultime tre cifre: $4^{2015}\cdot 5\equiv 4^{15}\cdot 5\equiv 824\cdot 5\equiv 120\; mod 1000$

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