Esercizi di Bianchi e Della Torre (Teoria dei numeri)

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Questo argomento contiene 23 risposte, ha 6 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 2 mesi, 2 settimane fa.

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  • Autore
    Articoli
  • #19227

    Jespeer
    Partecipante

    Ora rivedo

    #19228

    Raffa1998
    Partecipante

    A me esce anche un’altra soluzione , sono io che ho sbagliato qualcosa ??

    #19229
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    No, è vero che quelle di Jespeer non sono le uniche soluzioni.

    #19230

    Jespeer
    Partecipante

    Infatti se la dimostrazione non funziona qualche motivo ci sarà

    #19344
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Serve un hint per il 4?

    #19906

    Luco
    Partecipante

    Provo il 3, c’è solo un punto del quale non sono sicuro. Perdonate la notazione ma sono ancora un novizio di Latex

    Spoiler

    Essendo *p* primo, esso ha certamente un generatore *g*. Tutte le classi di resto $\pmod p$ possono dunque essere scritte come $g^x$ con $1\leq x\leq p-1$ . Essendo *g* generatore sappiamo che $g^(p-1)$ è congruo a 1 $\pmod p$ . Tute le altre classi di resto sono rappresentate dunque da $g^x$ con $1\leq x\leq p-2$ . Il risultato di $(p-1)!$ è dunque dato da 1( $\prod_{i=1}^{p-2}{g^i}$ ). In questa produttoria è possibile associare tra loro $g^1$ e $g^(p-2)$ , $g^2$ e $g^(p-3)$ , eccetera. Ognuno di questi prodotti parziale darà come risultato $g^(p-1)$ e sarà dunque congruo a 1 $\pmod p$ . L’unica classe di resto non accoppiabile è $g^((p-1)/2)$ . Al quadrato però essa deve essere congrua a 1 $\pmod p$ per il piccolo teorema di Fermat, quindi, essendo p primo, dovrà essere congrua a 1 o -1 $\pmod p$ . Tuttavia è impossibile che essa sia congrua ad 1 poiché l’ordine di un generatore è per definizione *p-1* quindi deve essere congrua a -1. Il nostro fattoriale si era dunque trasformato in 1 ( $g^((p-1)/2)$ ) e quindi in $$1(-1)\equiv -1 \pmod p$$ come richiesto

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    #19907
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Ok, mi sembra funzionare!

    Scusa per il ritardo nella risposta… ad ogni modo benvenuto nel forum!

    Per il Latex, ci sono varie guide più o meno esaustive (a me ad esempio piace L’Arte di scrivere con LaTeX di Pantieri).
    Per sistemare gli esponenti, basta aggiungere delle graffe che delimitino l’esponente. Quindi $g^p-1$ viene $g^p-1$, mentre $g^{p-1}$ viene $g^{p-1}$.

    #19911

    Boscarden
    Partecipante

    Soluzione del problema 4:

    Spoiler

    Le ipotesi equivalgono a :
    $$6^p \equiv 1 \pmod q $$
    $$6^q \equiv 1 \pmod p $$
    Segue $ord_q(6) \mid p$ e $ord_p(6) \mid q$ ($ord_a (b) $ è l’ordine moltiplicativo di $b$ modulo $a$ ). Supponendo $ord_q(6) > 1$ e $ord_p(6) > 1$ si deduce $ord_q(6) = p$ e $ord_p(6) = q$ perché $q$ e $p$ sono primi. Ciò è assurdo perché per il piccolo teorema di Fermat vale $ord_p(a) \leq p-1$ e quindi si avrebbe $p\leq q-1$ e $q\leq p-1$ . Allora (senza perdita di generalità) $ord_p(6) = 1$ ossia $6^1\equiv 1\pmod p$, $p=5$. $q\mid 6^5-1=5^2\cdot 311$ quindi, essendo $q$ primo, $q=5$ o $q=311$. Queste funzionano poiché $p=5=6-1\mid 6^a -1$.
    Le uniche soluzioni sono : $$(5;5), (5;311), (311;5) $$

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    #19914
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Ok, giusta!

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