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Questo argomento contiene 4 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 11 mesi, 2 settimane fa.

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    Articoli
  • #19239
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Sono date 12 monete numerate da 1 a 12. Di queste, undici hanno lo stesso peso, mentre una è contraffatta, per cui ha un peso differente (maggiore o inferiore). Data una bilancia a piatti, una pesata consiste nel posizionare in ciascuno dei due piatti un certo numero di monete (tutte assieme). È possibile determinare quale sia la moneta contraffatta e se pesa di più o di meno delle altre mediante al più tre pesate?

    #19242
    SLLG
    SLLG
    Partecipante

    Riflessioni ad alta voce (?):

    Spoiler

    Dopo due pesate posso determinare un gruppo di tre monete in cui si trova la moneta difettosa: divido le monete in quattro gruppo da tre monete ciascuno A, B, C, D 1. Metto sui due piatti A e B. 2. Se A e B hanno lo stesso peso, confronto A con C. Se A ha lo stesso peso di C, allora il gruppo D contiene la moneta incriminata. Altrimenti è C (in questo caso riesco anche a stabilire se la moneta incriminata pesa più o meno). Se A e B hanno peso diverso, confronto A con C. Se A ha lo stesso peso di C, allora B contiene la moneta incriminata. Se ha non ha lo stesso peso di C, allora A contiene la moneta incriminata. In entrambi i casi riesco anche a stabilire se la moneta incriminata pesa più o meno.
    Nei casi in cui conosco se la moneta incriminata pesa più o meno posso concludere. Basta prendere due monete dal gruppo delle tre contententi l’incriminata. Se hanno peso diverso posso dire qual è quella incriminata, altrimenti è quella che rimane.
    Manca dunque un solo caso: il primo di tutti, quello in cui ho tre monete che includono quella incriminata ma non conosco se quella incriminata sia più o meno pesante.

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    #19243
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Non saprei come concludere da lì. La mia soluzione è diversa, però non saprei nemmeno dimostrare che è l’unica (magari di questo parleremo quando viene fuori).

    #19249
    SLLG
    SLLG
    Partecipante

    Eureka

    Spoiler

    Prendo due insiemi di quattro monete disgiunti e li confronto. Ci sono due casi:
    1. I loro pesi sono uguali, quindi mi rimangono quattro monete ABCD.
    Confronto AB con C e una normale. Se i pesi sono uguali, allora D è la moneta incriminata e basta confrontarla con una normale per vedere se pesa meno o di più. Altrimenti se i pesi sono diversi, basta confrontare A con B per vedere quale è la moneta incriminata e sapere se è più o meno pesante. Se peso{A,B}<peso{C,norm} e $A<B$ è A ed è meno pesante. Se peso{A,B}<peso{C,norm} e $B<A$, allora è B ed è meno pesante. Se $peso{A,B}<peso{C,norm}$ e $A=B$, allora è C ed è più pesante. Similmente si procede se peso{C,norm}<peso{A,B}: se $A<B$ è B ed è più pesante, se $B<A$, allora è A ed è più pesante. Se $A=B$, allora è C ed è più leggera.<br />
    2. I loro pesi diversi e (wlog) allora posso supporre che le otto monete scelte siano 1,2,3,4,5,6,7,8 e che peso{1,2,3,4}<peso{5,6,7,8} e tra di loro c’è la moneta incriminata.<br />
    Confronto ora 1,3,5 e 2,4,6. Se i pesi sono uguali, allora confronto 7 con una moneta normale e capisco se è 7 o 8 la moneta incriminata (il cui peso sarà maggiore delle altre).
    Al contrario possono accadere due casi: peso{1,3,5}<peso{2,4,6} e in questo caso la moneta incriminata può essere solo 1,3 o 6, oppure peso{1,3,5}>peso{2,4,6} e in questo caso la moneta incriminata può essere solo 2,4 o 5. Nel primo caso confronto {1,6} e nel secondo {2,5} con una coppia di monete normali. Se peso{1,6}>normali, allora la moneta incriminata è 6 (e il peso è maggiore), se peso{1,6}<normali, allora la moneta incriminata è 1 (e il peso è minore), infine se peso{1,6}=normale, allora la moneta incriminata è 3 (e il peso è minore). Lo stesso si fa nel caso {2,4,5}.

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    #19250
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Ottimo! La mia soluzione era un po’ diversa nella seconda parte, ma la simmetria della tua mi piace di più 🙂

    Spoiler

    Arrivato al caso in cui {1,2,3,4}<{5,6,7,8}, io confrontavo {1,6,normale} e {5,2,7}. Ora ci sono i tre casi: se {1,6,normale}<{5,2,7} allora confronto {5} e {7}: se sono uguali allora è 1 ed è più leggera, altrimenti è la più pesante tra {5} e {7}. Se {1,6,normale}={5,2,7} allora confronto {3} e {4}. Se sono uguali allora è 8 ed è più pesante, altrimenti è la più leggera tra {3} e {4}. Infine se {1,6,normale}>{5,2,7}, allora confronto {6} e una normale: se sono uguali allora è {2} ed è più leggera, altrimenti è {6} e riesco a capire se è più pesante o meno.

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