ANNO problema VII

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Questo argomento contiene 2 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 3 settimane, 3 giorni fa.

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  • #19881
    MATHia
    MATHia
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    Sia $n$ un intero positivo. Dimostra che $$\prod_{i=1}^{n}\Bigl( 1+\frac{1}{i^3}\Bigr)<3$$

    #19895
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante
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    Dimostro per induzione che $$\prod_{i=1}^{n}{(1+\frac{1}{i^3})}\leq 3-\frac{1}{n}$$ Se questo è vero è vera anche la tesi, poiché $\frac{1}{n}>0$ per $n$ intero positivo. Passo base: $n=1$ ottengo $2\leq 2$ che è chiaramente vero. Passo induttivo: suppongo la proprietà vera per $n$, dimostro che vale anche per $n+1$. Devo quindi dimostrare $$\prod_{i=1}^{n+1}(1+\frac{1}{i^3})\overset{?}{\leq} 3-\frac{1}{n+1}$$ Per ipotesi induttiva ho che $$\prod_{i=1}^{n+1}(1+\frac{1}{i^3})=(1+\frac{1}{(n+1)^3})\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{1}{i^3})\leq (1+\frac{1}{(n+1)^3})(3-\frac{1}{n})$$ quindi mi basta dimostrare $$(1+\frac{1}{(n+1)^3})(3-\frac{1}{n})\overset{?}{\leq} 3-\frac{1}{n+1}$$ $$3-\frac{1}{n}+\frac{3}{(n+1)^3}-\frac{1}{n(n+1)^3}\overset{?}{\leq} 3-\frac{1}{n+1}$$ Sottraggo $3$ e moltiplico per $n(n+1)^3$ entrambi i membri $$-(n+1)^3+3n-1\overset{?}{\leq}-n(n+1)^2$$ $$n^3+2n^2+4n\overset{?}{\leq} n^3+3n^2+3n+2$$ $$n^2-n+2\overset{?}{\geq} 0$$ che avendo discriminante negativo è vera per ogni $n$.

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    #19896
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Ottimo!

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