ANNO II problema VIII

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Questo argomento contiene 2 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 3 settimane, 4 giorni fa.

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  • #19888
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Dimostra che, fissato $n\in\mathbb{Z}$, l’equazione diofantea $$x^2+y^2=z^2+n$$ ammette infinite terne di soluzione $(x,y,z)\in\mathbb{Z}^3$.

    #19889

    Matteo
    Partecipante
    Spoiler

    riscrivo l’equazione come $(x+z)(x-z)=n-y^{2}$ e scelgo y in modo che $n-y^{2}$ sia dispari (quindi se n è pari scelgo y dispari e viceversa). Ora pongo $x=\frac{n-y^{2}+1}{2}$ e $z=\frac{n-y^{2}-1}{2}$ . Dunque $x+z=n-y^{2}$ e $x-z=1$ e quindi si verifica l’equazione. Quindi con n fissato esiste almeno una soluzione per ogni y non congruo ad n in modulo 2.

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    #19891
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    GIusto! Bella soluzione 😉 ti confesso che quella che avevo trovato io era abbastanza più brutta 🙂

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