Anno II problema VI

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Questo argomento contiene 3 risposte, ha 3 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 7 mesi fa.

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  • #19876
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Siano $x$, $y \in\mathbb{R}$ tali che $xy\in\mathbb{Z}$ e $x+y\in\mathbb{Z}$. Dimostra che allora $x^n+y^n\in\mathbb{Z}\quad\forall n\in\mathbb{Z_+}$

    #19878

    Matteo
    Partecipante
    Spoiler

    Faccio induzione forte su n. Passo base: $n=1$ , $x+y$ è intero per ipotesi. Passo induttivo: dato che $x^{n}+y^{n}=(x+y)^{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}x^{n-i}y^{i}$ noto che $(x+y)^{n}$ è una potenza positiva di un intero e quindi è intera, rimane da dimostrare che $\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}x^{n-i}y^{i}$ è intero. Per n dispari riscrivo la sommatoria come $\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{i}(x^{n-i}y^{i}+x^{i}y^{n-i})=\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{i}(xy)^{i}(x^{n-2i}+y^{n-2i})$ noto che $(xy)^{i}$ è intero per ipotesi e $x^{n-2i}+y^{n-2i}$ è intero per ipotesi induttiva, quindi $\binom{n}{i}(xy)^{i}(x^{n-2i}+y^{n-2i})$ è intero e di conseguenza lo è anche $\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{i}(xy)^{i}(x^{n-2i}+y^{n-2i})$. Per n pari riscrivo la sommatoria come $\binom{n}{\frac{n}{2}}(xy)^{\frac{n}{2}}+\sum_{i=1}^{\frac{n-2}{2}}\binom{n}{i}(xy)^{i}(x^{n-2i}+y^{n-2i})$ e noto che $(xy)^{\frac{n}{2}}$ è intero per ipotesi ( e quindi lo è anche $\binom{n}{\frac{n}{2}}(xy)^{\frac{n}{2}}$ ), mentre la sommatoria è intera per quanto già detto nel caso n dispari e di conseguenza la loro somma è intera.

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    #19879

    Jacoπo
    Partecipante
    Spoiler

    Dimostriamo la tesi per induzione su n, in particolare: $(P(1)\wedge P(2)\wedge ((P(n-2)\wedge P(n-1))\Rightarrow P(n)))\Rightarrow P(n)\forall n\in \mathbb{Z}_+$
    dove $P(n):x^n+y^n\in \mathbb{Z}$

    $P(1)$ è vera per la seconda ipotesi; $P(2)$ è vera perchè: $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \in \mathbb{Z}$ perchè $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto al prodotto e alla differenza, e $x+y$ e $xy \in \mathbb{Z}$ per ipotesi.

    Supponiamo ora (ipotesi induttive): 1. $x^{n-2}+y^{n-2}\in \mathbb{Z}$ 2. $x^{n-1}+y^{n-1}\in \mathbb{Z}$ e dimostriamo che $x^{n}+y^{n}\in \mathbb{Z}$

    Consideriamo: $x^{n-1}y+xy^{n-1}=xy(x^{n-2}+y^{n-2})\in \mathbb{Z}$ [A] perchè il primo fattore è intero per la prima ipotesi e il secondo per 1.

    Adesso consideriamo che: $(x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)\in \mathbb{Z}$ per la seconda ipotesi, per 2. e perchè $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto al prodotto,ovvero: $\exists a\in \mathbb{Z}\mid (x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)=a$ Svolgendo il prodotto: $x^n+x^{n-1}y+xy^{n-1}+y^n=a$ $x^n+y^n=a-(x^{n-1}y+xy^{n-1})$ Quindi $x^n+y^n\in \mathbb{Z}$ perchè $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto alla differenza, e sia il minuendo che il sottraendo sono interi, per definizione e per [A].

    Quindi per induzione $x^n+y^n\in \mathbb{Z} \forall n\in \mathbb{Z}_+$

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    #19880
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Giuste entrambe!

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