Anno II problema V

Home Forum Matematica Problemi periodici Anno II problema V

Questo argomento contiene 3 risposte, ha 2 partecipanti, ed è stato aggiornato da  leofr01 3 mesi, 4 settimane fa.

Stai vedendo 4 articoli - dal 1 a 4 (di 4 totali)
  • Autore
    Articoli
  • #19875
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Sia $ABCD$ un quadrilatero qualsiasi (non necessariamente convesso ed eventualmente anche intrecciato). Siano $M$, $N$, $O$, $P$ i punti medi dei lati, $E$ e $F$ i punti medi delle diagonali $AC$ e $BD$. Dimostra che $EF$, $MO$ e $NP$ concorrono (cioè hanno un punto in comune).

    #19886

    leofr01
    Partecipante
    Spoiler

    Coordinate cartesiane!
    Mettiamo senza perdere di generalità D in (0;0) E C in (2,0) mentre lasciamo A e B liberi ovvero essi avranno coordinate variabili in particolare A=(2k,2z) B=(2f,2j). Prendo le coordinate con il 2 per semplificarmi i conti poiché assumono lo stesso qualsiasi valore al variare delle variabili.
    I punti medi saranno di Coordinate
    M=(k+f,j+z),N=(f+1,j),O=(1,0) P=(k,z) mentre E=(k+1,z), F=(f,j)
    Notiamo ora per semplificarci i conti che MNOP è un paralleolgramma infatti per Talete sulle rette MM,AC tagliate da AB e BC si ha che sfruttando l’essere punti medi MN è parallelo ad AC ed è la sua metà. Ripetendo lo stesso discorso per gli altri tre lati di MNOP Si ha che MNOP paralleolgramma da cui per una nota proprietà le diagonali si bisecano quindi il punto di intersezione Tra MO e NP è il punto medio di NP da cui esso,chiamato X è ((f+k+1)/2,(j+z)/2). Ci basta ora far vedere che questo punto sta sulla retta EF. Facendo i conti la retta EF è: $(y-z)/(j-z)=(x-k-1)/(f-k-1)$
    Se sostituiamo in essa le coordianate di X abbiamo che è verificata l’appartenza a EF da parte di X.

    [collapse]
    #19887
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Ok, giusta. C’è anche almeno un’altra soluzione, che secondo me è degna di essere scritta 🙂

    #19892

    leofr01
    Partecipante

    Le bari chiamano @meceulero

Stai vedendo 4 articoli - dal 1 a 4 (di 4 totali)

Devi essere loggato per rispondere a questa discussione.