Anno II problema V

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Questo argomento contiene 7 risposte, ha 4 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 3 mesi fa.

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  • #19875
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Sia $ABCD$ un quadrilatero qualsiasi (non necessariamente convesso ed eventualmente anche intrecciato). Siano $M$, $N$, $O$, $P$ i punti medi dei lati, $E$ e $F$ i punti medi delle diagonali $AC$ e $BD$. Dimostra che $EF$, $MO$ e $NP$ concorrono (cioè hanno un punto in comune).

    #19886

    leofr01
    Partecipante
    Spoiler

    Coordinate cartesiane!
    Mettiamo senza perdere di generalità D in (0;0) E C in (2,0) mentre lasciamo A e B liberi ovvero essi avranno coordinate variabili in particolare A=(2k,2z) B=(2f,2j). Prendo le coordinate con il 2 per semplificarmi i conti poiché assumono lo stesso qualsiasi valore al variare delle variabili.
    I punti medi saranno di Coordinate
    M=(k+f,j+z),N=(f+1,j),O=(1,0) P=(k,z) mentre E=(k+1,z), F=(f,j)
    Notiamo ora per semplificarci i conti che MNOP è un paralleolgramma infatti per Talete sulle rette MM,AC tagliate da AB e BC si ha che sfruttando l’essere punti medi MN è parallelo ad AC ed è la sua metà. Ripetendo lo stesso discorso per gli altri tre lati di MNOP Si ha che MNOP paralleolgramma da cui per una nota proprietà le diagonali si bisecano quindi il punto di intersezione Tra MO e NP è il punto medio di NP da cui esso,chiamato X è ((f+k+1)/2,(j+z)/2). Ci basta ora far vedere che questo punto sta sulla retta EF. Facendo i conti la retta EF è: $(y-z)/(j-z)=(x-k-1)/(f-k-1)$
    Se sostituiamo in essa le coordianate di X abbiamo che è verificata l’appartenza a EF da parte di X.

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    #19887
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Ok, giusta. C’è anche almeno un’altra soluzione, che secondo me è degna di essere scritta 🙂

    #19892

    leofr01
    Partecipante

    Le bari chiamano @meceulero

    #19915

    Matteo
    Partecipante

    Lo provo… chiedo scusa se la formalità non è il massimo ma non sono abituato a risolvere problemi con questo metodo maligno 😉

    Spoiler

    Uso le coordinate baricentriche in riferimento al triangolo ABC. Siano [p:q:r] le coordinate di D con p+q+r=1. Naturalmente le coordinate di M sono [1:1:0], quelle di N sono [0:1:1], quelle di O sono [p:q:r+1], quelle di P sono [p+1:q:r], quelle di F sono [p:q+1:r] e quelle di E sono [1:0:1]. L’equazione della retta MO sarà della forma lx+my+nz=0 e sostituendo le coordinate di M otteniamo l=-m, sostituendo l=-m e sostituendo x,y,z con le coordinate di O otteniamo l(p-q)=-n(r+1) da cui [l:m:n]=[r+1:-r-1:q-p] e quindi l’equazione della retta sarà (r+1)x+(-r-1)y+(q-p)z=0. Analogamente troviamo che le equazioni delle rette NP ed EF sono rispettivamente (r-q)x+(p+1)y+(-p-1)z=0 e (q+1)x+(r-p)y+(-q-1)z=0. Ora vogliamo dimostrare che il punto Q=[p+1:q+1:r+1] appartiene a tutte e tre le rette. Se sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della retta MO otteniamo (r+1)(p+1)+(-r-1)(q+1)+(q-p)(r+1)=rp+r+p+1-rq-r-q-1+rq-rp+q-p=0; se sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della retta NP otteniamo (r-q)(p+1)+(p+1)(q+1)+(-p-1)(r+1)=rp-pq+r-q+pq+p+q+1-rp-r-p-1=0 ed infine se sostituiamo le sue coordinate nell’equazione di EF otteniamo (q+1)(p+1)+(r-p)(q+1)+(-q-1)(r+1)=pq+p+q+1+rq-pq+r-p-rq-r-q-1=0. Dunque le tre rette concorrono nel punto Q=[p+1:q+1:r+1].

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    #19916
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Mi sembra buona (nel senso che ho letto i conti senza rifarli, e mi tornano). Però ancora non è venuta fuori la soluzione che speravo venisse fuori :). Se dicessi

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    vettori?

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    #19917

    Boscarden
    Partecipante

    Soluzione con i vettori!

    Spoiler

    $$M=\frac{A+B}{2}$$
    $$O=\frac{C+D}{2}$$
    Allora il punto medio di $MO$ è $\frac{A+B+C+D}{4}$.
    $$N=\frac{B+C}{2}$$
    $$P=\frac{D+A}{2}$$
    Allora il punto medio di $NP$ è $\frac{A+B+C+D}{4}$.
    $$E=\frac{A+C}{2}$$
    $$F=\frac{B+D}{2}$$
    Allora il punto medio di $EF$ è $\frac{A+B+C+D}{4}$.
    I punti medi dei segmenti $MO$, $NP$, $EF$ coincidono, dunque i segmenti concorrono.

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    #19918
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Oh, molto bene 🙂

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