ANNO II problema IV

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Questo argomento contiene 5 risposte, ha 4 partecipanti, ed è stato aggiornato da MATHia MATHia 2 mesi fa.

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    Articoli
  • #19861
    SLLG
    SLLG
    Partecipante

    Sia ABC un triangolo acutangolo con AB > AC, O il suo circocentro e
    D il punto medio del lato BC. Il cerchio con diametro AD interseca i
    lati AB, AC nei punti E, F rispettivamente. La retta che passa per D
    parallela ad AO interseca EF in M. Dimostra che EM = EF.

    #19883

    Ato.21
    Partecipante

    Forse ho capito male io, ma mi sembra un po’ improbabile la tesi…

    #19884
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Invece è vera 🙂 hai provato a fare un disegno? Se ancora non ti torna, prova a ricontrollare le ipotesi.

    #19921
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante

    Forse si riferisce al typo $EM=EF$ invece di $EM=MF$

    #19922
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante

    Comunque ecco una soluzione

    Spoiler

    Chiamo $P$ e $Q$ i piedi delle altezze relative rispettivamente a $AC$ e a $AB$. Se $E$ sta sulla circonferenza di diametro $AD$ allora $\angle{AED}=90$ e analogamente $\angle{AFD}=90$. Quindi $BP||DF$ e $CQ||DE$ e dato che $D$ è il punto medio di $BC$ allora per il teorema di Talete si ha che $E$ è il punto medio di $BQ$ e $F$ è il punto medio di $CP$. Dato che $O$ è il circocentro di $ABC$ allora $\angle{BOA}=2\angle{BCA}$ e $\angle{QAO}=90-\frac{\angle{BOC}}{2}=90-\angle{BCA}$ (1) . Il quadrilatero $BCPQ$ è ciclico dato che $\angle{BQC}=\angle{BPC}=90$ e inoltre ha centro in $D$. Di conseguenza $\angle{BCA}=180-\angle{BQP}=\angle{AQP}$. Confrontando questo risultato con la (1) si ottiene che $AO\bot PQ$. L’asse di $PQ$
    è perpendicolare a $PQ$ e passa per $D$ dato che gli assi di tutte le corde di una circonferenza passano per il centro della stessa, quindi l’asse di $PQ$ è parallelo a $AO$ e passa per $D$, quindi la retta parallela ad $AO$ passante per $D$ è l’asse di $PQ$ e quindi passa per il punto medio di $PQ$, che chiamo $N$. $EN||BP||DF$ e $ED||QC||FN$ (teorema di Talete), quindi $EDFN$ è un parallelogramma e quindi $ND$ e $EF$ si bisecano in $M$ dato che $ND$ è la retta parallela ad $AO$ passante per $D$, quindi $EM=MF$.

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    #19934
    MATHia
    MATHia
    Amministratore del forum

    Osservazione corretta (non avevo visto il typo nella tesi) e soluzione pure. Un’altra soluzione si può trovare con un po’ di angle-chasing e un filino di trigonometria.

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