ANNO II problema A

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Questo argomento contiene 2 risposte, ha 3 partecipanti, ed è stato aggiornato da  Matteo 3 mesi fa.

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  • #19923
    Meceulero
    Meceulero
    Partecipante

    Sia A””””A”’A””’ un triangolo, A’ il suo circocentro ed A””” il suo ortocentro. Sia A l’intersezione fra A””””A’ e A”’A””’, siano inoltre A” e B i piedi delle altezze di A””””A”’A””’ relative rispettivamente a A””””A””’ e a A””””A”’.

    Parte a) Dimostrare che A”””’A”””=A”””A””””’ dove A”””’ e A””””’ sono le intersezioni della retta a rispettivamente con A””””A”’ e con A””””A””’, e la retta a è la perpendicolare a AA”” condotta da A”””. Ah, A”” è l’intersezione fra BA” e A””””A”””

    #19935

    Boscarden
    Partecipante
    Spoiler

    Chiamo
    C:=A””””
    D:=A”’
    E:=A””’
    F:=A”
    G:=B
    H:=A”””
    O:=A’
    M:=A
    N:=A””
    X:=A””””’
    Y:=A”””’
    Adesso si può passare alla dimostrazione!
    Sia P l’intersezione tra la perpendicolare a CE per E e la perpendicolare a CD per D.
    CEPD è inscritto in una circonferenza di diametro CP e centro O, quindi C, O, P sono allineati.
    I quadrilateri CGHF e CEPD sono simili perché hanno tutti gli angoli congruenti e $\hat {FCH}=\hat {DCP} $ perché il circocentro e l’ortocentro sono coniugati isogonali.
    Allora $CH:CN=CP:CM $, quindi MN è parallelo a PH per il teorema di Talete. XY è perpendicolare a PH.
    Allora EXHP è ciclico, quindi $\hat {XPH}= \hat {XEH} =\frac {\pi}{2}-\hat {ECD} $. Analogamente $\hat {YPH}= \frac {\pi}{2} -\hat {ECD} $. Segue $\hat {XPH}= \hat {YPH} $. Allora $\triangle {XPH}=\triangle {YPH} $, in particolare $XH=HY $.

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    #19936

    Matteo
    Partecipante

    Ma la notazione valeva più del problema in sé… troppo facile toglierla 😉

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